05-向量与矩阵范数-矩阵条件数

1 .1 第五章 线性方程组直接解法 — 向量与矩阵范数 — 矩阵条件数

2 .2 本讲内容 定义、常见向量范数、性质 向量范数 定义、常见矩阵范数、性质 矩阵范数 矩阵条件数

3 .3 向量范数 向量内积，向量范数 常见向量范数： 1 、 2 、 p 、  范数的性质（连续性、等价性） Cauchy-Schwarz 不等式 向量序列的收敛性

4 .4 向量范数 定义： 设函数 f : R n  R ，若 f 满足 f ( x )  0 ， x  R n , 等号当且仅当 x = 0 时成立 （正定性） f (  x ) = | | · f ( x ) ，  x  R n ,    R （ 齐次性 ） f ( x + y )  f ( x ) + f ( y ) （三角不等式） 则称 f 为 R n 上的（向量）范数，通常记为 || · || 向量范数 向量内积（数量积） 定义与性质、 Cauchy-Schwarz 不等式 导出范数（欧氏范数）

5 .5 常见向量范数 R n 空间上常见的向量范数 1 - 范数 ： 2- 范数：  - 范数（有时也称最大范数）： p - 范数：

6 .6 范数性质 范数的性质 (1) 连续性 定理： 设 f 是 R n 上的任一向量范数，则 f 关于 x 的每个分量连续。 (2) 等价性 定理： 设 || · || s 和 || · || t 是 R n 上的任意两个范数，则存在常数 c 1 和 c 2 ，使得对任意的 x  R n 有 证明：板书 证明：板书

7 .7 范数性质 (3) Cauchy-Schwarz 不等式 (4) 向量序列的收敛性（略，见第六章） 定理： 证明：略

8 .8 矩阵范数 矩阵范数 常见矩阵范数： F 、 1 、 2 、  范数的性质（连续性、等价性） 矩阵范数的相容性 算子范数的计算、算子范数与谱半径

9 .9 矩阵范数 定义： 设函数 f : R n  n  R ，若 f 满足 f ( A )  0 ， A  R n  n , 且 f ( A ) = 0  A = 0 （正定性） f (  A ) = | | · f ( A ) ，  A  R n ,    R （ 齐次性 ） f ( A + B )  f ( A ) + f ( B ) （三角不等式） f ( AB )  f ( A ) f ( B ) （相容性） 则称 f 为 R n  n 上的（矩阵）范数，通常记为 || · || 矩阵范数

10 .10 常见矩阵范数 常见的矩阵范数 (1) F- 范数 ( Frobenious 范数 ) ： (2) 算子范数 ( 从属范数、诱导范数 ) 其中 || · || 是 R n 上的任意一个向量范数 证明：板书 注：教材上的定义不太严谨

11 .11 算子范数 常见的算子范数 ③  - 范数（行范数） ② 2- 范数（谱范数） ① 1- 范数（列范数） 证明：③ ② 板书，① 为作业

12 .12 算子范数举例 例： 设 计算 解：板书

13 .13 矩阵范数性质 (1) 连续性： 设 f 是 R n  n 上的任一矩阵范数，则 f 关于 A 的每个分量是连续的。 (2) 等价性： 设 || · || s 和 || · || t 是 R n  n 上的任意两个矩阵范数，则存在常数 c 1 和 c 2 ，使得对任意的 A  R n  n 有 (3) 若 A 是对称矩阵，则 证明：略 证明：略 证明：练习

14 .14 算子范数性质 定理： 设 || · || 是任一算子范数，则 证明：板书 事实上，该 性质 对任意矩阵范数都成立 定理： 设 || · || 是 R n 上的任一向量范数，其对应的算子范数也记为 || · || ，则有 该性质就是矩阵范数与向量范数的 相容性 证明：直接由算子范数定义可 得。

15 .15 算子范数性质 定理： 设 || · || 是任一算子范数，若 || B || <1 ，则 I ± B 非奇异，且 证明：板书 定理： 对任意  > 0 , 总存在一算子范数 || · ||  ，使得 || A ||    ( A ) +  证明：略

16 .16 矩阵条件数 病态矩阵 矩阵条件数 条件数的计算 条件数的性质

17 .17 病态矩阵 定义： 考虑线性方程组 Ax = b ，如果 A 或 b 的 微小 变化会导致解的 巨大 变化，则称此线性方程组是 病态 的，并称矩阵 A 是 病态 的，反之则是 良态 的。 什么是病态矩阵 例：

18 .18 矩阵条件数 定义： 设 A 非奇异，则称 为 A 的 条件数 ，其中 v 是 1 ， 2 或  。 如何判别矩阵是否病态 —— 矩阵的条件数 定理： 考虑线性方程组 Ax = b ，设 A 是精确的， b 有 微小 的扰动  b ，新方程组的解为 x +  x ，即 A ( x +  x ) = b +  b ，则 证明：板书

19 .19 矩阵条件数 定理： 考虑线性方程组 Ax = b ，设 b 是精确的， A 有 微小 的扰动  A ，此时的解为 x +  x 。假定 ，则 当  A 充分小时，不等式右端约为 证明：略 通常，当 A 的条件数较大时，就称 A 就是病态的 一般来说，条件数越大，病态越严重，此时就越难用一般方法求得线性方程组的比较精确的解。

20 .20 矩阵条件数 条件数与范数有关，常用的有 无穷范数 和 2- 范数 注： Cond( A ) 2 称为 谱条件数 ，当 A 对称时有

21 .21 条件数性质 条件数的基本性质 Cond( A )  1 Cond(  A ) = Cond( A ), 其中  为任意非零实数 若 R 是正交矩阵，则 Cond( R ) 2 =1 若 R 是正交矩阵，则对任意非奇异矩阵 A ，有 Cond( AR ) 2 =Cond( RA ) 2 =Cond( A ) 2

22 .22 举例 例： 计算 Cond( A )  和 Cond( A ) 2 解： Cond( A )  =|| A -1 ||  || A ||   410 4 Cond( A ) 2 = max /  min  410 4 A 对称，且

23 .23 举例 例： 计算 Cond( H k )  其中 H k 为 k 阶 Hilbert 矩阵 解： k =1 时， Cond( H 1 )  =1 k =2 时， Cond( H 2 )  =27 k =3 时， Cond( H 3 )  =748 Cond( H 4 )  =28375 ， Cond( H 10 )  =3.510 13

24 .24 解的改善（了解） （ 1 ） ：使用更高 精度的数进行计算 （ 2 ）：使用迭代法提高数值解的精度 其中  x 是 的解。

25 .25 作业 1. 教材第 177 页： 12 ， 13 ， 14 ， 15 ， 17 ， 18 ， 20 ， 21 注： 第 12 题中的矩阵改为 第 17 题改为矩阵 （   0 ），问  取何值时 , cond  (A) 最小。 第 18 题中的矩阵改为 2. 证明 :