小波变换

1 .信号与图像处理基础 中国科学技术大学 自动化系 曹 洋 Wavelet Analysis

2 .主要内容 1. 小波介绍 1.1 小波简史 1.2 小波概念 1.3 小波分析 1.4 小波定义 2. 哈尔函数 2.1 哈尔基函数 2.2 哈尔小波函数 2.3 函数的规范化 2.4 哈尔基的结构 3. 哈尔 小波变换 4. 二维哈尔小波变换 4.1 二维小波变换举例 4.2 二维小波变换方法 5. 多分辨率表示 6. 小波变换 在图像边缘检测中的应用 7 . 小波变换 在图像去噪中的应用

3 .1 . 小波介绍 小波 (wavelet) 是什么 在有限时间范围内变化且其平均值为零的数学函数 具有有限的持续时间和突变的频率和振幅 在有限的时间范围内，它的平均值等于零

4 .1. 小波介绍 ( 续 1) 部分小波 许多数缩放函数和小波函数以开发者的名字命名，例如， Moret 小波函数是 Grossmann 和 Morlet 在 1984 年开发的 db6 缩放函数和 db6 小波函数是 Daubechies 开发的 图 7-1 正弦波与小波 —— 部分小波

5 .1. 小波介绍 ( 续 2) 1807: Joseph Fourier 傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式 小波简史 小波变换 (wavelet transform) 是什么 老课题：函数的表示方法 新方法： Fourier － Haar － wavelet transform

6 .1. 小波介绍 ( 续 3) 只有频率分辨率而没有时间分辨率 可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能确定具有这些频率的信号出现在什么 时候 丢失 了信号的时频域的局部特性，而这正是非平稳信号最重要的性质

7 .1. 小波介绍 ( 续 3)

8 .1. 小波介绍 ( 续 3)

9 .1. 小波介绍 ( 续 4) 1945: Gabor 开发了 STFT (short time Fourier transform) STFT 的时间 - 频率关系图

10 .1. 小波介绍 ( 续 4) 1945: Gabor 开发了 STFT (short time Fourier transform)

11 .1. 小波介绍 ( 续 4) 此图片引自“小波导论”

12 .1. 小波分析 ( 续 4) STFT 存在一个问题，我们应该用多宽的窗函数？

13 .1. 小波分析 ( 续 4) 解决方案： 可变窗口

14 .1. 小波介绍 ( 续 5) 1909: Alfred Haar Alfred Haar 对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似的基非常感兴趣。 1909 年他发现并使用了小波，后来被命名为哈尔小波 (Haar wavelets)

15 .1 . 小波介绍 ( 续 6) 1980 ： Morlet 20 世纪 70 年代，在法国石油公司工作的年轻地球物理学家 Jean Morlet 提出小波变换 (wavelet transform ， WT) 的概念。 20 世纪 80 年代 , 开发了连续小波变换 (continuous wavelet transform ， CWT) 1986 ： Y.Meyer 法国科学家 Y.Meyer 与其同事创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，用于分析函数 用缩放 (dilations) 与平移 (translations) 均为 2 j ( j ≥0 的整数 ) 的倍数构造了 L 2 ( R ) 空间的规范正交基，使小波分析得到发展

16 .1. 小波介绍 ( 续 7) 1988 ： Mallat 算法 法国科学家 Stephane Mallat 提出多分辨率概念，从空间上形象说明小波的多分辨率的特性，并提出了正交小波的构造方法和快速算法，称为 Mallat 算法 该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法，其地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位

17 .1. 小波介绍 ( 续 8) 小波理论与工程应用 Inrid Daubechies 于 1988 年最先揭示了小波变换和滤波器组 (filter banks) 之间的内在 关系， 使离散小波分析变成为 现实。 Ronald Coifman 和 Victor Wickerhauser 等著名科学家在把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要 贡献。 在信号处理中，自从 Stephane Mallat 和 Inrid Daubechies 发现滤波器组与小波基函数有密切关系之后，小波分析在信号 ( 如声音和图像 ) 处理中得到极其广泛的 应用，有着“数字显微镜”的美誉。

18 .1. 小波介绍 ( 续 5)

19 .1. 小波介绍 ( 续 5)

20 .1. 小波介绍 ( 续 5) 小波变换有两个变量，尺度 a 和平移 τ ，分别控制小波的伸缩和平移。 尺度对应频率上的变化，平移对应时间上的变化。 傅里叶变换只有一个变量 ω ， 对应频率上的变化。

21 .1. 小波介绍 ( 续 5) 小波变换有两个变量，尺度 a 和平移 τ ，分别控制小波的伸缩和平移。 尺度对应频率上的变化，平移对应时间上的变化。 傅里叶变换只有一个变量 ω ， 对应频率上的变化。

22 .1. 小波介绍 ( 续 5) 傅里叶变换变换可以得到时域信号的频域谱 。

23 .1. 小波介绍 ( 续 5) 小波变换不仅可以得到频域谱，而且可以得到时域谱 。 此图片引自“小波导论”

24 .1. 小波介绍 —— 小波分析 小波分析 / 小波变换 变换目的是获得时间和频率域之间的相互关系 小波变换 对一个函数在空间和时间上进行局部化的一种数学变换 通过平移母小波 (mother wavelet) 获得信号的时间信息 通过缩放母小波的宽度 ( 或称尺度 ) 获得信号的频率特性 对母小波的平移和缩放操作是为计算小波的系数，这些系数代表局部信号和小波之间的相互关系 对比傅立叶变换 提供了频率域的信息，但丢失了时间域的局部化信息 小波分析中常用的三个基本概念 连续小波变换 离散小波变换 小波重构

25 .1. 小波介绍 —— 小波分析 ( 续 1) 连续小波变换 (continuous wavelet transform ， CWT) 傅立叶分析 用一系列不同频率的正弦波表示一个信号 一系列不同频率的正弦波是傅立叶变换的基函数 小波分析 用母小波通过移位和缩放后得到的一系列小波表示一个信号 一系列小波可用作表示一些函数的基函数 凡能用傅立叶分析的函数都可用小波分析 小波变换可理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅立叶变换用的正弦波 用不规则的小波分析变化激烈的信号比用平滑的正弦波更有效，或者说对信号的基本特性描述得更好

26 .1. 小波介绍 —— 小波分析 ( 续 2) CWT 的变换过程示例， 见右图， 可分如下 5 步 小波 ψ ( t ) 和原始信号 f ( t ) 的开始部分进行比较 计算系数 C—— 该部分信号与小波的近似程度； C 值越高表示信号与小波相似程度越高 小波右移 k 得到的小波函数为 ψ ( t-k ) ，然后重复步骤 1 和 2 ， …… 直到信号结束 扩展小波，如扩展一倍，得到的小波函数为 ψ ( t/ 2) 重复步骤 1~4 连续 小波变换的过程

27 .1. 小波介绍 —— 小波分析 ( 续 3) 连续小波变换用下式表示 该式含义：小波变换是信号 f ( t ) 与被缩放和平移的小波函数 Ψ 之积在信号存在的整个期间里求和 CWT 变换的结果是许多小波系数 C ，这些系数是缩放因子 (scale) 和位置 (position) 的函数 离散小波变换 (discrete wavelet transform ， DWT) 用小波的基函数 (basis functions) 表示一个函数的方法 小波的基函数序列或称子小波 (baby wavelets) 函数是由单个小波或称为母小波函数通过缩放和平移得到的 缩放因子和平移参数都选择 2 j ( j >0 的整数 ) 的倍数，这种变换称为双尺度小波变换 (dyadic wavelet transform)

28 .1. 小波介绍 —— 小波分析 ( 续 4) 离散 小波变换分析图 DWT 得到的小波系数、缩放因子和时间 关系 图 (a) 是 20 世纪 40 年代使用 Gabor 开发的短时傅立叶变换 (short time Fourier transform ， STFT) 得到的 图 (b) 是 20 世纪 80 年代使用 Morlet 开发的小波变换得到的

29 .1 . 小波介绍 —— 小波分析 ( 续 5) 执行 DWT 的有效方法 用 Mallat 在 1988 年开发的滤波器，称为 Mallat 算法 DWT 的概念 见 下 图。 S 表示原始的输入信号；通过两个互补的滤波器产生 A 和 D 两个信号 双 通道滤波过程 A 表示信号的近似值 (approximations) ，大的缩放因子产生的系数，表示信号的低频分量 D 表示信号的细节值 (detail) ，小的缩放因子产生的系数，表示信号的高频分量