视觉的基本知识：视觉系统的几何特性

1 .第三节 视觉系统的几何特性 

2 . 在任何特定的理论中，只有其 中包含数学的部分才是真正的科学。 —— 康德 

3 .相关的数学基础  齐次坐标  射影几何  2D 变换  3D 变换  相机内参数 

4 .1. 齐次坐标 1 、点的齐次坐标 u 二个齐次坐标如相差一个非零因子，则这二  u    v  v 个齐次坐标相同    1   2 、无穷远直线上的点 u   如点 v 为无穷远直线上的点， t   则 t =0 

5 .1. 齐次坐标 3 、直线的齐次坐标表示 直线方程可表示为 规范化直线参数向量后，直线的齐次坐标可表示为： 

6 .1. 齐次坐标 4 、通过二点的直线  u1   u2  如果     x1  v1  , x2  v2  为二图象点，则通过 t  t   1  2 L 该二点的直线的参数向量为： L  x1 x 2 x1 LT x1 0 LT x 2 0 x2 

7 .1. 齐次坐标 5 、平行线可以相交 笛卡尔坐标系下，两条直线的方程为： 齐次坐标系下，两条直线的方程为： 可以解出 w=0 ，即两条直线相交于无穷远点。 

8 .1. 齐次坐标 6 、二次圆锥曲线的齐次坐标表示为： 

9 .2. 2D 变换 2D 变换的基本组合 

10 .2D 变换 2D 平移变换可描述为： 或者： 2D 旋转、平移变换可描述为： 

11 .2D 变换 2D 旋转、平移、尺度变换可描述为： 2D 仿射变换可描述为： 2D 透视变换可描述为： 

12 .2D 变换的层次 

13 .3. 3D 变换 3D 变换的层次 

14 .三维刚体变换 p 点在第一个视场中的坐标 p1 通过旋转和平移 ，变换到第二个视场中的坐标 p2  rxx rxy rxz  p 2 Rp1  t   其中 R  ryx ryy ryz   rzx rzy rzz   T t (t x , t y , t z ) 

15 .旋转矩阵 用直角坐标系中的 欧拉角描述空间角 光轴俯仰角 (pitch)pitch)) ：绕 x 轴的旋转角 光轴偏航角 (pitch)yaw) ： 绕 y 轴的旋转角 光轴扭转角 (pitch)twist) ：绕 z 轴的旋转角 

16 .旋转矩阵 rxx cos cos  rxy sin  sin cos   cos sin  rxz cos sin cos   sin  sin   rxx rxy rxz  ryx cos sin    R  ryx ryy ryz  ryy sin  sin sin   cos cos  ryz cos sin sin   sin  cos   rzx rzy rzz   rzx  sin rzy sin  cos 单位正交矩阵 rzz cos cos 数值解不稳定性 

17 .旋转轴  坐标系的旋转可视为逆时针绕单位矢量 (nx , n y , n的旋转 z) .  直接使用旋转轴和旋转角来产生令人满 意的数值解 

18 .旋转矩阵 基于齐次坐标系， 3D 旋转可以由坐标轴 n 和转角 θ 描述，或者等效描述为： 

19 .旋转矩阵 对于向量 v 旋转 90 度 , 等效于做一次叉乘： 当转角 θ 很小时，可以简化为 

20 .单位四元数  单位圆上任意一点对应一个旋转角 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 (x, y) 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　  单位球上任意一点对应两个旋转角 

21 .四元数  四维单位球可以表示三维空间中的三 个旋转角 2 2 2 2 q0  q1  q2  q3 1 • 一个旋转矩阵对应四维单位球上一 点  q02  q12  q22  q32 2 q1q2  q0 q3  2 q1q3  q0 q2     R q   2 q1q2  q0 q3  q02  q22  q12  q32 2 q2 q3  q0 q1    2 q q  q q  2 q2 q3  q0 q1  q02  q32  q12  q22   1 3 0 2 

22 .四元数 设旋转轴的单位矢量为  n ,n ,n  x y z 则旋转轴单位矢量可以表示为： nx i  n y j  nz k 绕该轴逆时针旋转角 θ 的单位四元数为：   q cos  sin  nx i  n y j  nz k  2 2 q0  qx i  q y j  qz k 

23 .四元数  四元数乘法定义 rq (r0 q0  rx q x  ry q y  rz q z , r0 q x  rx q0  ry q z  rz q y , r0 q y  rx q z  ry q0  rz q x , r0 q z  rx q y  ry q x  rz q0 )  刚体变换可以很方便地用七个元素表示  q 0 , q1 , q 2 , q3 , q 4 , q5 , q6  p  R  q p   q , q , q  2 1 4 5 6 T 

24 .4. 射影几何  一般的成象系统通常将三维场景变换成二维 灰度或彩色图像，这种变换可以用一个从三 维空间到二维空间的映射来表示： f: R3  R 2 ( x, y, z )  ( x, y)  四维空间  五维空间，更高维空间 

25 .透视投影  透视投影 (pitch)perspective projection)) 是最常用 的成像模型，可以用针孔（ pin)h)ole ）成像模型来成像模型来 近似表示． 

26 . 透视投影方程： x y  f   x y z f f  点在图像平面中的位置 ： x  x y  y z z 

27 .正交投影  正交投影（ orth)ogon)al projection) ）成像模型来指用平 行于光轴的光将场景投射到图像平面上 , 因此也 称为平行投影（ parallel projection) ）成像模型来  投影方程为： x   x y  y 

28 .5. 相机内部几何参数  单应矩阵（ Homography matrix ）  内部矩阵（ Intrinsic matrix ） 

29 .2D 像素与 3D 场景点关系 Oc ：镜头光心 Sx ,Sy ：像素间距 Cs ：图像坐标系原点 Xs ,Ys ：图像平面