2021年浙江高考数学试题

1 . 2021年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题卷 第I卷 选择题部分（共40分） 一、选择题 1. 设集合A = {xjx > 1}; B = {xj¡1 < x < ¡2}，则A \ B = A. {xjx > ¡1} B. {xjx > 1} C. {xj¡1 < x < 1} D. {xj1 6 x < 2} 2. 已知a 2 R，(1 + ai) i = 3 + i，（i为虚数单位），则a = A. -1 B. 1 C. -3 D. 3 3. 已知非零向量~a ; ~b ; ~c，则~a
~c = ~b
~c是~a = ~b的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 p 3 3 2 p A. B. 3 C. D. 3 2 2 2 x+1>0 {{{ {{{ 1 5. 若实数x; y 满足约束条件 x ¡ y 6 0 ，则z = x ¡ y 的最小值是 2 2x + 3 y ¡ 1 6 0 3 1 1 A. -2 B. ¡ C. ¡ D. 2 2 10 6. 如图已知正方体ABCD ¡ A1B1C1D1，M ; N 分别是A1D; D1B 的中点，则 1 

2 . A. 直线A1D与直线D1B 垂直，直线MN//平面ABCD B. 直线A1D 与直线D1B 平行，直线MN ? 平面BDD1B1 C. 直线A1D与直线D1B 相交，直线MN//平面ABCD D. 直线A1D与直线D1B 异面，直线MN ? 平面BDD1B1 1 7. 已知函数 f (x) = x2 + ; g(x) = sin x，则图像为如图的函数可能是 4 1 1 A. y = f (x) + g (x) ¡ B. y = f (x) ¡ g (x) ¡ 4 4 g ( x) C. y = f (x) g (x) D. y = f ( x) 1 8. 已知 ; ; 是互不相同的锐角，则在sin cos ; sin cos ; sin cos 三个值中，大于 的个数 2 的最大值是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 已知a; b 2 R; ab > 0，函数 f (x) = ax2 + b(x 2 R).若 f (s ¡ t); f (s); f (s + t)成等比数列，则平面上 点(s; t)的轨迹是 A. 直线和圆 B. 直线和椭圆 C. 直线和双曲线 D. 直线和抛物线 an 10. 已知数列{an}满足a1 = 1; an+1 = p (n 2 N ).记数列{an}的前n项和为Sn，则 1 + an 1 3 9 9 A. < S100 < B. 3 < S100 < 4 C. 4 < S100 < D. < S100 < 5 2 2 2 2 第II卷 非选择题部分（共110分） 二、填空题 11. 我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一 个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形直角边的长分别是3， 4， 记大正 S1 方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，则 = . S2 2 

3 . {{ xjx ¡¡ 3j4; + a; 2 x>2 p 12. 已知a 2 R，函数 f (x) = ，若 f [ f ( 6 )] = 3，则a = . x62 13. 已知多项式(x ¡ 1)3 + (x + 1)4 = x4 + a1 x3 + a2x2 + a3 x + a4，则a1 = ，a2 + a3 + a4 = . p 14. 在4ABC中，\B = 60，AB = 2，M 是BC的中点，AM = 2 3 ，则AC = ，cos\MAC = . 15. 袋中有4个红球m个黄球，n个绿球. 现从中任取两个球，记取出的红球数为  ，若取出的两个球 1 1 都是红球的概率为 ，一红一黄的概率为 ，则m ¡ n = ，E (  ) = . 6 3 16. 已知椭圆 x2 y 2 a2 1 2 + 2 = 1(a > b > 0)，焦点F1(¡c; 0)，F2(c; 0)(c > 0)，若过F1的直线和圆 x ¡ c + b 2 ( ) y 2 = c2相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且PF2 ? x轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离 心率是 . 17. 已知平面向量~a ; ~b ; ~c ; (~c = / 0)满足ja ~ j = 2; (~a ¡ ~b)
~c = 0. 记向量d~在~a ; ~b方向上的投影分别 ~ j = 1; jb 为x， y ，d ¡ ~a在~c方向上的投影为z ，则x2 + y2 + z 2的最小值为 ~ . 三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 18. 设函数 f (x) = sin x + cos x (x 2 R). [( a) 求函数 y = f x +  2 )] 的最小正周期； 2 ( b) 求函数 y = f (x) f x ¡  2 ) [ ]  在 0; 上的最大值. 2 19. 如图， 在四棱锥 p P ¡ ABCD中， 底面ABCD是平行四边形， \ABC = 120， AB = 1， BC = 4，PA = 15 ，M ; N 分别为BC; PC的中点，PD?DC，PM?MD. a) 证明：AB?PM； b) 求直线AN与平面PDM所成角的正弦值. 9 20. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1 = ¡ ，且4Sn+1 = 3Sn ¡ 9. 4 a) 求数列{an}的通项； b) 设数列{bn}满足3 bn + (n ¡ 4) an = 0， 记{bn}的前n项和为Tn， 若Tn 6  bn对任意n 2 N 恒成立，求的范围. 21. 如图，已知F是抛物线 y 2 = 2 p x ( p > 0)的焦点，M 是抛物线的准线与x轴的交点，且jMFj = 2， 3 

4 . a) 求抛物线的方程； b) 设过点F的直线交抛物线与A、 B两点，斜率为2的直线l与直线MA， MB， AB， x轴依 次交于点P，Q，R，N，且jRNj2 = jPNj
jQNj，求直线l在x轴上截距的范围. 22. 设a，b为实数，且a > 1，函数 f (x) = ax ¡ bx + e2(x 2 R) a) 求函数 f (x)的单调区间； b) 若对任意b > 2e2，函数 f (x)有两个不同的零点，求a的取值范围； b ln b c) 当a = e时，证明：对任意b > e4，函数 f (x)有两个不同的零点x1，x2，满足x2 > x1 + 2e2 e2 . b （注：e = 2.71828: : : 是自然对数的底数） 注记. 本试卷使用墨干编辑器制作。 4