04-Gauss 求积公式

1 .1 第四章 数值积分与数值微分 — Gauss 求积公式

2 .2 本讲内容 一般理论：公式，余项，收敛性，稳定性 Gauss-Legendre 求积公式 Gauss-Chebyshev 求积公式 无限区间的 Gauss 求积公式 Gauss 求积公式

3 .3 怎样构造更高精度的求积方法 考虑求积公式 含 2 n +2 个参数 ( 节点与系数 ) ，为了使该公式具有尽可能高的代数精度，可将 f ( x ) = 1, x , x 2 , …, x 2 n +1 代入公式，使其精确成立，则可构造出代数精度至少为 2 n +1 的求积公式 ! 自由选取求积节点！等分点不一定最佳！

4 .4 举例 例： 试确定节点 x i 和系数 A i ， 使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。 解： 将 f ( x )＝1, x , x 2 , x 3 代入求积公式，使其精确成立，可得 该公式对 f ( x )＝ x 4 不精确成立，故有 3 次代数精度！ 缺点： 非线性方程组求解较困难！

5 .5 Gauss 型求积公式 一般情形：考虑 机械 带权求积公式 定义 ： 若存节点在 x i [ a , b ] 及系数 A i ，使得上面的求积公式具有 2 n +1 次代数精度，则称节点 x i 为 高斯点 ， A i 为 高斯系数 ，求积公式为 高斯型求积公式 性质： 上面的求积公式至多具有 2 n +1 次代数精度 （将 代入验证即可） Gauss 求积公式在所有机械求积公式中代数精度最高

6 .6 Gauss 点 问题： 如何计算 Gauss 点 x i 和 高斯系数 A i 法一：解 非线性 方程组 太困难 !  法二：分开计算 先确定 Gauss 点 再通过解线性方程组计算 Gauss 系数

7 .7 Gauss 点 定理： 上面的插值型求积公式中的节点 x i ( i = 0 , 1 , … , n ) 是 Gauss 点的 充要条件 是：多项式 与任意次数不超过 n 的多项式 p ( x ) 都 关于权函数  ( x ) 正交，即 证明 : 板书 推论： 设 p 0 ( x ), p 1 ( x ),  , p n ( x ) ,  是 [ a , b ] 上带权  ( x ) 正交的多项式族，则 Gauss 点即为 p n +1 ( x ) 的零点！

8 .8 计算 Gauss 点的一般方法 求出  n +1 ( x ) 的表达式 计算其零点 与 1, x, x 2 , ..., x n 带权正交 特殊情形： (1) [ a , b ]=[-1, 1],  ( x )=1 ， 则 Gauss 点即为 Legendre 多项式的零点 (2) [ a , b ]=[-1, 1], 则 Gauss 点即为 Chebyshev 多项式的零点

9 .9 Gauss 系数的计算 例： 试确定节点 x i 和系数 A i ， 使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度。 将 f ( x ) = 1, x , x 2 , …, x n 代入，解方程 或利用 Lagrange 基函数

10 .10 余项公式 设 p 2 n +1 ( x ) 是 f ( x ) 在节点 x 0 , x 1 ,  , x n 上的 2 n +1 次 Hermite 插值多项式 , 即

11 .11 收敛性与稳定性 可以证明：当 a , b 为有限数，且 f ( x )  C [ a , b ] 时 Gauss 型公式是收敛的 令 Gauss 型公式是稳定的

12 .12 Gauss 公式与正交多项式 积分区间 : [-1, 1] ， 权函数：  ( x ) = 1 利用正交多项式构造 Gauss 求积公式 积分区间 : [-1, 1 ] ， 权函数： Gauss-Legendre 求积公式 Gauss- Chebyshev 求积公式

13 .13 Gauss-Legendre 求积公式 积分区间 : [-1, 1] ， 权函数 :  ( x ) = 1 Gauss 点 = Legendre 多项式 p n +1 ( x ) 的零点 G-L 求积公式 :

14 .14 低阶 G-L 公式 n =0 时 , G-L 求积公式 : Gauss 点 : 将 f ( x )＝1 代入求出 A 0 n =1 时 , 两点 G-L 求积公式 : Gauss 点 : 将 f ( x )＝1, x 代入 求出 A 0 , A 1

15 .15 低阶 G-L 公式 n =2 时 , 三点 G-L 求积公式 : Gauss 点 :

16 .16 更多 G-L 公式 当 n > 3 时，可用数值方法计算 P n +1 ( x ) 的零点 ( 教材 122 页 ) n 节点个数 Gauss 点 Gauss 系数 0 1 0.0000000 2.0000000 1 2  0.5773503 1.0000000 2 3  0.7745967 0.0000000 0.5555556 0.8888889 3 4  0.8611363  0.3399810 0.3478548 0.6521452 4 5  0.9061798  0.5384693 0.0000000 0.2369269 0.4786287 0.5688889 5 6  0.93246951  0.66120939  0.23861919 0.17132449 0.36076157 0.46791393

17 .17 G-L 公式余项 余项公式   (-1, 1)

18 .18 一般区间上的 G-L 公式 做变量代换 积分区间 : [ a , b ] ， 权函数 :  ( x ) = 1

19 .19 G-L 公式举例 例： 用四点 G-L 公式 (n=3) 计算定积分 解： 令

20 .20 Gauss-Chebyshev 求积公式 积分区间 : [-1, 1] ， 权函数 : Gauss 点 = Chebyshev 多项式 T n +1 ( x ) 的零点 G-C 求积公式 :

21 .21 G-C 公式 T n +1 ( x ) 的零点 ( i = 0, 1, … , n ) Gauss 系数 ( i = 0, 1, … , n ) G-C 求积公式 : 余项 :   (-1, 1)

22 .22 低阶 G-C 公式 n = 0 n = 1 n = 2 两点 G-C 公式 三点 G-C 公式

23 .23 G-C 公式举例 例： 用五点 G-C 公式计算 奇异积分 解： 直接代公式可得 误差估计

24 .24 无穷区间上 Gauss 公式 积分区间 : [0,  ] ， 权函数： 无穷区间上的 Gauss 型求积公式 积分区间 : [-  ,  ] ， 权函数： Gauss-Laguerre 求积公式 Gauss- Hermite 求积公式 这两个求积公式的 Gauss 点和 Gauss 系数可以通过查表得到，见教材 124 ， 125 页 。

25 .25 几点注记 Gauss 型求积公式的优点 计算精度高 可计算无穷区间上的积分和奇异积分 Gauss 型求积公式的缺点 需计算 Gauss 点和 Gauss 系数 增加节点时需重新计算 实际应用中可以使用复合 Gauss 求积公式 将积分区间分隔成若干小区间 在每个小区间上使用 Gauss 求积公式

26 .26 作业 1. 教材第 136 页： 10 ， 11 注： 习题 10 积分区间改为 [1,2] 习题 11 积分区间改为 [0,2] ，计算过程中保留小数点后两位数字。